Przeciążenia

Wpis

poniedziałek, 17 czerwca 2013

Dlaczego "pętla śmierci" jest bezpieczna?

W poprzednim artykule odeszliśmy na chwilę od tematu przeciążeń, by zająć się pokrewnym zagadnieniem przyspieszeń grawitacyjnych. Odbyliśmy wyobrażoną podróż po Układzie Słonecznym, obliczając, ile kilogramów wskazałaby waga, gdybyśmy stanęli na niej na poszczególnych ciałach niebieskich naszego Układu. Czas, abyśmy wrócili na Ziemię i zajęli się nawet bardziej interesującą sprawą, jedną z najtrudniejszych, jakimi przyjdzie nam się zająć. Pora zająć się kolejkami górskimi i sławną pętlą 360°, znaną także jako "pętla śmierci".

Czy widzieliście kiedyś taką pętlę, drodzy Czytelnicy? Jest to ustawiona pionowo, nieco spłaszczona pętla, po której poruszają się wagoniki kolejki górskiej, w najwyższym punkcie jeżdżąc do góry nogami. Jak to się dzieje, że nie spadają?

Pojedynczy wagonik

Czas na teorię

Aby ułatwić nieco obliczenia, załóżmy na początku, że mamy do czynienia z pętlą o stałym promieniu, taką, która ma kształt okręgu. Takie pętle można zaobserwować w zabawkowych modelach torów samochodowych, lecz rzadko są spotykane w prawdziwych kolejkach górskich. Dlaczego? O tym powiemy na końcu artykułu.

Oto schemat takiej okrągłej "pętli śmierci":

Pełna pętla okrągła

Rozpatrujemy na razie przypadek jedynie jednego wagonika.

 

Wagonik w najwyższym punkcie pętli

Na wagonik działa, oczywiście, siła ciężkości.

Wagonik w najwyższym punkcie pętli z zaznazczonym ciężarem

Łatwo zgadnąć, że nie jest to jedyna siła działająca na wagonik. Dodatkowo działa na niego siła odśrodkowa. Jest to siła, która działa na ciała poruszające się po okręgu, zwrócona zawsze na zewnątrz okręgu. Jej wartość zależy od masy wagonika, jego prędkości oraz od promienia pętli. Aby wagonik nie spadł, siła odśrodkowa musi w najwyższym punkcie pętli równoważyć siłę ciężkości.

Siły działające na wagonik w najwyższym punkcie pętli

Wagonik napędzany jest dzięki zamianie energii potencjalnej ciężkości na energię kinetyczną i vice versa. Energia potencjalna zależy od masy ciała, wysokości, na jakiej znajduje się ciało, oraz od przyspieszenia grawitacyjnego (w przypadku Ziemi - przyspieszenia ziemskiego). Energia kinetyczna zależy z kolei od masy ciała oraz jego prędkości.

Pętla wraz z poprzedzającym ją wzniesieniem

Zapewne większość z Was, drodzy Czytelnicy, zastanawia się nad tym, jaka jest minimalna wysokość wzniesienia, z którego wagonik musi wystartować, aby pokonać "pętlę śmierci". Jak się okazuje, można to wyliczyć.

Czas na obliczenia

Wzór na siłę odśrodkową jest dość prosty do zapamiętania, głównie ze względu na podobieństwo do wzoru na energię kinetyczną.

Fod = (mv2)/r

Dla przypomnienia, wzory na energię potencjalną ciężkości i energię kinetyczną to:

Ep = mgh

Ek = (mv2)/2

Jak już ustaliliśmy, w najwyższym punkcie pętli siła odśrodkowa musi być co najmniej równa co do wartości ciężarowi.

Fod = Q

(mv2)/r = mg

v2/r = g

v2 = gr

Pomińmy opory ruchu na potrzeby obliczeń. Energia potencjalna ciężkości w punkcie startowym musi być równa sumie energii potencjalnej ciężkości i energii kinetycznej w najwyższym punkcie pętli. Wysokość pętli równa jest jej średnicy, czyli dwukrotności promienia.

mgh = mg * 2r + (mv2)/2

mgh = 2mgr + (mv2)/2

gh = 2gr + v2/2

gh - 2gr = v2/2

v2 = 2gh - 4gr

Połączmy oba równania, aby otrzymać jeden wzór.

gr = 2gh - 4gr

2gh - 5gr = 0

2h - 5r = 0

2h = 5r

h = r * (5/2)

h = 2,5r

Otrzymaliśmy więc minimalną wysokość pagórka początkowego, pozwalającą wagonikowi na pokonanie "pętli śmierci". Przy takiej wysokości, w najwyższym punkcie pętli, w wagoniku przeciążenie osiąga na krótką chwilę wartość 0g. Przy większej wysokości wzniesienia przeciążenie pionowe wyrażamy liczbami ujemnymi. Przeciążenie to w tym wypadku różnica przyspieszenia ziemskiego i przyspieszenia zwróconego na zewnątrz okręgu.

p = g - (Fod/m)

p = g - a

Ten wzór wygląda znajomo, gdyż jest to po prostu poznany wcześniej przez nas wzór na przeciążenie w układzie odniesienia, w którym na ciała działa siła bezwładności zwrócona pionowo w górę.

Doświadczenie 2.

Badanie przeciążeń w "pętli śmierci"

Przygotowanie

To doświadczenie, mające na celu zbadanie działania siły odśrodkowej na koło w pomniejszonym modelu "pętli śmierci", zaczęliśmy, rzecz jasna, od budowy odpowiedniej makiety. Zanim autorowi tego artykułu udało się zbudować ostateczną wersję, powstały dwa prototypy.

  • Pierwszy nie wydawał się początkowo sprawny ze względu na zbyt małą wysokość wzniesienia.
  • Drugi stawiał zbyt duże opory ruchu oraz okazał się zbyt delikatny.
  • Końcowy model powstał, jak się okazało, na bazie pierwszego prototypu, poprzez rozbudowanie części poprzedzającej pętlę i zwiększenie wysokości wzniesienia.

Wszystkie miniatury wykonane zostały z kartonu, papieru, kleju i taśmy klejącej.

A oto ostateczna wersja makiety:

Model pętli wykonany w ramach projektu

Ze względu na tarcie, trudność w prawidłowym ustawieniu koła na makiecie oraz inne czynniki, żaden model nie osiągnął stuprocentowej skuteczności.

Przebieg doświadczenia

Ustawiona na podstawce kamera rejestrowała model, podczas gdy autor makiety ustawiał miniaturowe koło firmy Lego na wzniesieniu i puszczał je. Rozpatrywane były tylko udane próby, pozostałe nie stanowiły przypadków interesujących, a ich niepowodzenie wynikało z nieprawidłowego ustawienia początkowego koła. Następnie nakręcono również podobny film, na którym ukazano samą pętlę, powiększoną przez aparat dzięki funkcji zoom.

Obserwacje

Puszczone z wystarczającej wysokości koło pokonywało "pętlę śmierci", poruszając się po okręgu i nie spadając nawet podczas ruchu po górnej części toru.

Wnioski

Na koło działała siła odśrodkowa, która w najwyższym punkcie co najmniej zrównoważyła ciężar. Koło poddane było wówczas przeciążeniu mniejszym lub równym 0g.

Czas na obliczenia

Wiemy już, jak działa "pętla śmierci", jeśli chodzi o powstrzymanie wagonika przed spadaniem. Dlaczego jednak konstruktorzy kolejek górskich "spłaszczają" pętlę, nadając jej kształt odbiegający znacznie od okręgu?

Nie wolno zapominać, że siła odśrodkowa działa na wagonik również w najniższym punkcie pętli.  W tym punkcie energia potencjalna ciężkości jest zerowa, zaś energia kinetyczna równa jest energii potencjalnej ciężkości w punkcie startowym, na szczycie wzniesienia.

(mv2)/2 = mgh

v2/2 = gh

v2 = 2hg

Siła odśrodkowa jest zatem równa:

Fod = (mv2)/r

Fod = (m * 2hg)/r

Minimalna wysokość to dwuipółkrotność promienia.

Fod = (m * 2 * 2,5 * r * g)/r

Fod = m * 5 * g

Fod = 5mg

Siła odśrodkowa to, jak każda siła, iloczyn masy i przyspieszenia.

Fod = ma

ma = 5mg

a = 5g

Tą wartość możemy podstawić do jednego z wzorów na przeciążenie pionowe.

p = g + a

p = g + 5g

p = 6g

Przeciążenie w najniższym punkcie pętli

Przy przeciążeniu 7g pilot samolotu chwilowo traci przytomność. Przeciążenie 6g uznawane jest za zbyt niebezpieczne dla nieprzyzwyczajonego organizmu. Z przyczyn bezpieczeństwa, konstruktorzy kolejek górskich budują pętle w kształcie klotoidy, czyli figury o mniejszym promieniu w górnej części niż w dolnej. Oznacza to, że siła odśrodkowa jest większa w górnej części pętli, gdzie jest potrzebna do równoważenia siły ciężkości, niż w części dolnej, w której mogłaby powodować zbyt duże przeciążenia.

Przykładowa pętla w kształcie klotoidy

Czas na podsumowanie

W tym artykule poznaliśmy wzór na siłę odśrodkową. Dowiedzieliśmy się, jak to się dzieje, że wagoniki nie spadają, kursując do góry nogami po "pętli śmierci", oraz dlaczego konstruktorzy nadają tym pętlom kształt klotoidy, a nie okręgu, jak w zabawkowych torach dla samochodzików.

Skoro już mowa o pętlach dla samochodzików, w ramach powtórzenia zachęcamy Czytelników obeznanych z językiem angielskim do obejrzenia filmu, w którym prawa nauki wykorzystane są do pokonania okrągłej "pętli śmierci", bazowanej na zabawkowych torach, prawdziwym samochodem osobowym.

https://www.youtube.com/watch?v=wiZoVAZGgsw

Zachęcamy do dalszego odwiedzania naszego bloga, na którym już wkrótce zamieścimy wyniki ankiety o tematyce fizycznej oraz opis kolejnego doświadczenia, przeprowadzonego właśnie na kolejce górskiej, a raczej na kolejce typu alpine coaster.

Źródła

Krzysztof Ernst "Einstein na huśtawce, czyli fizyka zabaw, gier i zabawek", Wydawnictwo Prószyński i S-ka SA, ul. Garażowa 7, 02-651 Warszawa, ISBN 83-7255-124-3

http://dydaktyka.fizyka.umk.pl/zabawki/files/mech/loop.html

https://www.youtube.com/watch?v=wiZoVAZGgsw

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Rollercoaster_Tornado_Avonturenpark_Hellendoorn_Netherlands.jpg

Szczegóły wpisu

Tagi:
Autor(ka):
projektnafizyke2013
Czas publikacji:
poniedziałek, 17 czerwca 2013 21:39

Polecane wpisy